Extracto
Tumorigénesis es un proceso biológico dinámico que implica subpoblaciones de células cancerosas proliferan distintos a ritmos diferentes y interconverting entre ellos. En este trabajo se propone un marco matemático de la dinámica de la población que considera tanto las tasas de crecimiento distintivos y transiciones intercelulares entre las poblaciones celulares de cáncer. Nuestro marco matemático mostró que tanto el crecimiento como la transición influyen en la proporción de las subpoblaciones de células de cáncer, pero el último es más significativo. Derivamos la condición de que diferentes tipos de células del cáncer pueden mantener subpoblaciones distintivos y también explicar por qué siempre existe una relación fija estable después de la clasificación celular basada en marcadores de superficie putativos. La relación de la fracción de células puede ser desplazado por el cambio de cualquiera de las tasas de crecimiento de las subpoblaciones (selección darwinismo) o por transiciones con el medio ambiente instruido (inducción lamarckismo). Esta visión nos puede ayudar a entender la dinámica de la heterogeneidad de las células cancerosas y nos llevan a nuevas estrategias para superar la resistencia a fármacos contra el cáncer
Visto:. Zhou JX, Pisco AO, Qian H, S Huang (2014) de no equilibrio dinámica de la población de fenotipo de conversión de las células cancerosas. PLoS ONE 9 (12): e110714. doi: 10.1371 /journal.pone.0110714
Editor: Gergely Szakacs, Academia de Ciencias de Hungría, Hungría
Recibido: 24 Marzo, 2014; Aceptado: September 20, 2014; Publicado: Diciembre 1, 2014
Derechos de Autor © 2014 Zhou et al. Este es un artículo de acceso abierto distribuido bajo los términos de la licencia Creative Commons Attribution License, que permite el uso ilimitado, distribución y reproducción en cualquier medio, siempre que el autor original y la fuente se acreditan
Financiación:. Esta investigación fue apoyada por la National Science Foundation con la subvención No. PHY11-25915 y iCore (Alberta, Canadá). La fuente de financiación no tenía papel en el diseño del estudio, la recogida y análisis de datos, decisión a publicar, o la preparación del manuscrito
Conflicto de intereses:. Co-autor Sui Huang es un miembro del Consejo Editorial PLoS ONE. Esto no altera la adhesión de los autores a PLoS ONE políticas y criterios editoriales.
Introducción
Durante la progresión del cáncer, el desarrollo por igual y actividades homeostáticos, las células tumorales se someten a cambios fenotípicos como la diferenciación celular, inmunológico activación durante la respuesta inflamatoria, o la transición epitelial a mesenquimal (EMT). Un interruptor de estado celular está impulsado por los cambios de expresión génica en todo el genoma que siguen patrones característicos. Por ejemplo, en respuesta a una señal que promueve la diferenciación, una población de células progenitoras inmaduras expresa proteínas
X e Y
, que están asociados con el estado diferenciado ( "marcador de diferenciación") y necesarios para las funciones fisiológicas de las células diferenciadas (Fig. 1A). La red de regulación de genes (GRN) coordina los cambios en los niveles de expresión de los genes que implementan estados fenotípicos específicos de células. GRN describe cómo los genes reguladores controlan una expresión de otro de una manera predeterminada, que está codificada en el genoma (Fig. 1B). Así, podemos representar un estado celular por su patrón de expresión de los
n
genes dónde está la actividad de la expresión del locus del gen cuantificado a nivel del locus genómico, ya sea en forma de transcripciones o proteínas. Debido a las no linealidades inherentes de la dinámica de este tipo de redes, una estructura rica del espacio de estado (espacio de todas las configuraciones de) con múltiples atracción de las regiones ( "multiestabilidad" = coexistencia de múltiples estados estables) surge de tal modo que cada dominio de la atracción de los mapas en una distinta fenotipo de células o el comportamiento, como se muestra en la Fig. 1C. Las cuencas de atracción compartimentar el espacio de estados de la red y dan lugar a desarticular estados estables - la captura de las propiedades esenciales de los tipos de células [1]. La teoría, propuesta por primera vez hace más de 50 años [2], [3], que (de alta dimensión) "atractores" representan los diversos tipos de células de los organismos metazoos construido la base para entender la dinámica de transición de estados celular y la población celular.
A. Tres estados de células con la expresión de genes distintos y. B. El circuito de regulación de genes de X e Y determina tres estados celulares. C. Cada estado está asociado con una tasa de crecimiento respectivamente. Tres estados de transición entre sí con las tasas de interconversión.
Una célula es la unidad elemental en una población cuyo nacimiento, la muerte y la transformación eventos subyacen a la dinámica de población. Muchos estudios describen la transición celular utilizando un ecuación maestra ya sea en el formalismo discreta, como las redes booleanas [4], [5], o en el formalismo continua de ecuaciones de diferenciación ordinarias (EDO) [6] - [8]. La asunción de conservación de la masa se utiliza generalmente en modelos inspirados en las ecuaciones de velocidad en la química. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la multiplicación celular viola la conservación de la masa. La salida de conservación de la masa cambia de forma espontánea la densidad de probabilidad de ausencia de flujo /flujo de salida hacia /desde el estado. Esta noción es de vital importancia para entender la formación de tejido desde la dinámica de la población de células se convierten en la dinámica de no equilibrio. La proporción entre las fracciones de células que corresponden a diferentes fenotipos ya no se acerca incondicionalmente un estado estacionario, teniendo en cuenta tanto la proliferación celular y la transición de la célula. Junto con la tasa de transición, el crecimiento celular neta (proliferación menos muerte) también cambia la abundancia de células en el estado atractor y en consecuencia afecta a la proporción ocupada de estados atractor, cambiando la conformación del tejido en general.
En biología de la población, sobre todo en el estudio de la dinámica de evolución, muchos investigadores han modelado poblaciones heterogéneas de especies distintas que difieren en la "aptitud" [9]. Una teoría matemática estrechamente relacionado de la dinámica de poblaciones de células es la teoría de Luria-Delbrück, iniciado por Luria y Delbrück y ampliamente desarrollada más tarde por Lea y Coulson, Kendall, Bartlett, Armitage y muñeca y muchos otros [10], [11]. Típicamente, en estos modelos, la heterogeneidad de la población se debe a la diversidad de genotipos producidas por mutaciones genéticas en lugar de multiestabilidad y transiciones no genéticos ( "epigenéticos") entre múltiples estados atractor. Estos modelos de evolución clásicos de las poblaciones de células han jugado un papel importante en el análisis de la evolución somática de las células cancerosas, que se cree ser el principal impulsor de la progresión del cáncer [9], [12]. Sin embargo, estos modelos asumen tácitamente una asignación uno a uno entre el genotipo y el fenotipo y asumen las mutaciones genéticas aleatorias como el mecanismo para el cambio de fenotipo celular.
Los recientes avances en la reprogramación de células de mamíferos y transdiferenciación celular han puesto de relieve la importancia de multiestabilidad y estatales de células no-genética que resulta en transiciones dinámica de la población de células no genéticos [13], [14]. Teniendo en cuenta la dinámica de este tipo no genéticos dará lugar a modelos que se diferencian de los modelos clásicos de la genética de poblaciones en los siguientes puntos:
reversibles transiciones de estado
: estas transiciones son a menudo aproximadamente simétrica, mientras que las mutaciones en el modelo tradicional suelen ser irreversibles;
transiciones de estado frecuente:. tasa de transición a menudo se encuentra en la misma escala de tiempo por división de tiempo o incluso más rápido, mientras que la tasa de mutación por locus es mucho más lenta que la velocidad de división
Las transiciones no son estrictamente no lamarckiana. Ellos pueden ser inducidas de forma controlada (a propósito) o fuera de control mientras que las mutaciones se dirigen al azar y sus tasas no es fácilmente sintonizable.
El objetivo fundamental de este trabajo es la dinámica de la composición celular de un cultivo población de células cancerosas. Más específicamente, se estudia la dinámica de la abundancia relativa de los subtipos celulares de cáncer distintos. También se discuten las condiciones para una población de células cancerosas para mantener la relación fija y distintos tipos de células. Por último se estudia cómo las tasas de transición y crecimiento influyen en el coeficiente subpoblación de células cuando la población alcanza el equilibrio. Ya que la verdadera novedad de esta investigación es la introducción de la tasa de crecimiento dependiente del estado a la celda de transición de estados, en general, este modelo puede ser utilizado para describir la diferenciación de las células durante la embriogénesis, o cualquier dinámica de la población de células en las que el crecimiento y la transición tanto juegan un papel importante en la misma escala
modelo población de células para la transición y la dinámica de crecimiento:.-dos fenotipos
comenzamos con un modelo simple de la población de células del cáncer con dos fenotipos. Suponemos que bimodales niveles de expresión de marcadores pueden modular la tasa de crecimiento. La discretización de una población de células con niveles de expresión de genes distribuidos de forma continua en dos estados, y es apropiado para capturar la dinámica de población característicos. sistemas dinámicos no lineales generalmente tienen estados estables constante (atractores) y el sistema debería volver a atractores bajo razonablemente pequeñas perturbaciones. La dinámica de regresar a los atractores o restablecer el equilibrio después de la perturbación es por lo general una propiedad clave de los sistemas dinámicos no lineales. Nos ayuda a comprender el mecanismo de muchos fenómenos biológicos interesantes en la biología, como el polimorfismo, la homeostasis etc. Aquí establecemos primero las condiciones para la coexistencia de los dos fenotipos mediante la caracterización tanto de la existencia de una relación de estado estable de éstos dos tipos y las dinámicas que sustentan el restablecimiento del equilibrio
modelo Primaria:. dinámica de las poblaciones de células de dos fenotipo
tenemos en cuenta la dinámica de una población de células con dos estados interconverting ( "subpoblaciones ") y con abundancias relativas y, que tienen sus propias tasas de natalidad, mortalidad y las tasas de transición de estado. Las tasas netas de crecimiento (las cantidades son fácilmente medidos) y, respectivamente. La dinámica de población de células que incluyen tanto el crecimiento celular y la transición de estado se describen mediante el correspondiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias: (1)
ec. (1) representación de la matriz viene dada por: (2) donde es una matriz con el crecimiento y términos de transición. Es importante destacar que sólo la tasa de crecimiento neto se puede medir de forma fiable en el cultivo celular. Si son valores propios de la ecuación. (2), la solución general de este sistema EDO lineal es: (3)
El comportamiento dinámico a largo plazo de este sistema dinámico se determina entonces por los dos valores propios. Hay dos comportamientos distintos si los valores propios o bien tienen signos opuestos o del mismo signo. Cuando los dos valores propios tienen signos opuestos, es decir, el término crecimiento asociado con el valor propio negativo decae exponencialmente. En esta situación, las dos poblaciones celulares tienen esencialmente la misma tasa de crecimiento, que se define por el valor propio positivo con solamente diferentes pre-factores
A
11 (cuando
) y
A
22
(
cuando
). Esto indica que sólo una subpoblación puede sobrevivir por sí misma, mientras que la segunda subpoblación vive como la derivada de la otra.
Cuando los dos valores propios tienen los mismos signos, es decir, tenemos que considerar si son positivos o negativos . Si ambos valores propios son positivos, las dos subpoblaciones sobrevivir juntos. A largo plazo ambas poblaciones crecerán con la misma tasa, que se define por el valor propio más grande. Por último, si los dos valores propios son negativos, entonces ambas subpoblaciones se extingan juntos. Matemáticamente, ya que el producto de los dos valores propios es el determinante de la matriz
T
, la condición para que los dos valores propios que tienen el mismo signo puede escribirse como: (4)
Por lo tanto, si las tasas de crecimiento para ambos fenotipos son mucho mayores que las conversiones de estado, es decir, a continuación, las dos subpoblaciones pueden sobrevivir tanto por su cuenta. Sin embargo, si una de las dos poblaciones tiene una tasa de transición mayor que su tasa de división, esta población sólo puede sobrevivir como "
derivado
" de la otra (ya que depende de la "reflujo" de la otra) . Esta simple observación matemática tiene consecuencias en la resistencia a los medicamentos no genético (persistors) [15], [16]. Si los tipos de conversión de las dos subpoblaciones son mucho más grandes que sus respectivas tasas de crecimiento, la distinción de los dos fenotipos de células discretas se vuelve borrosa. Curiosamente, en este caso ninguna de las subpoblaciones pueden sobrevivir solo. Podemos considerar estas dos poblaciones como uno solo con una tasa de crecimiento media de. De este modo, mediante el examen de las tasas de transición en los regímenes no considerados en la dinámica de población basado en la mutación (porque las mutaciones son poco frecuentes), entramos en un régimen dinámico que es relevante para la dinámica de la población de células en las que las conversiones de fenotipo no genéticos dominan.
podemos determinar la proporción de población entre las dos subpoblaciones en este régimen. Dado que en el largo plazo tanto para el crecimiento poblaciones está dada por el término con los valores propios de mayor tamaño, es decir, su relación es esencialmente
A
21 /A
22
. La dinámica de seguimiento (5)
Por lo tanto, la relación de fracción de estado estacionario de es (6) en el que se denota como la tasa de crecimiento neto diferencial de con respecto a la de dividido por la tasa de transición de a. Mientras que la relación de población se vuelve estacionario, ambas poblaciones de y pueden crecer indefinidamente. Este resultado se desvía de la dinámica de población clásicos en los que la coexistencia de dos poblaciones de diferentes tasas de crecimiento no es estable debido a la conversión de una sola dirección (mutación). De hecho, estudios recientes sobre las poblaciones (isogénicas) de células de cáncer de clones mostró que por lo general se componen de varios interconverting subpoblaciones discretas asociadas con propiedades funcionales biológicamente relevantes, tales como tallo-como el comportamiento, flujo de salida de drogas capacidad [14], [17] y la diferenciación [13]. El crecimiento exponencial en una proporción constante
r *
también está de acuerdo con la observación de que las células que se pasan de forma continua en cultivo de células de mantener la relación fija entre subtipos; la tasa de crecimiento de la población total está dada entonces por: (7)
Ahora la cuestión es: ¿Podemos cuantificar las diferentes influencias en la relación fija celular observada de las tasas de crecimiento y de transición? Una posible interpretación biológica es que los cambios en y relativas entre sí representan la aptitud diferencial en un entorno dado, lo que podría promover la selección darwiniana. En la misma línea, los cambios en la instrucción pueden representar lamarckiana en el sentido de que un determinado ambiente puede imponer tasas de transición diferenciales entre los diferentes fenotipos. Esto ofrece un simple marco matemático para describir la contribución relativa de la selección darwiniana y la instrucción de Lamarck en el cambio de las proporciones de población durante la progresión del tumor con quimioterapia.
Re-equilibrio de los dos fenotipos-población de células
Es fácil de obtener el tiempo de curso de la dinámica de la re-equilibrio de las subpoblaciones mediante la búsqueda de la solución integral para la Ec. (5). Para la conveniencia de la integración, cambiamos la variable e integrarlo partir de la relación inicial de la población celular a la relación en cualquier momento arbitrario: (8)
Desde donde viene dado por la Ec. (6), hemos
(9)
Este resultado sugiere que el tiempo de re-equilibrio es del orden de. También podemos referencia esta ecuación con dos casos extremos cuyas tasas de transición son evidentes. La velocidad inicial para la re-equilibrio a partir de una subpoblación pura, es decir, está dada por: (10) mientras que la tasa inicial de re-equilibrio a partir de puro, es decir,, se puede escribir como: (11)
En el caso general, la tasa de re-equilibrio es un proceso dinámico que combina tanto la ecuación. (10) y (11). Eq. (5) también predice que hay dos tipos de dinámica re-equilibrio. La mano del lado derecho de la ecuación. (5) alcanza su máximo a (12) con la tasa (13)
Por lo tanto, si, es decir, la diferencia de las tasas de crecimiento es mayor que la diferencia de las tasas de transición, se espera que el re-equilibrio puede ser descrito por una curva sigmoidal a lo largo de tiempo. La tasa de re-equilibrio aumenta con el tiempo hasta que, seguido por una tasa decreciente. Esto se muestra en la figura. 2A y 2C. Sin embargo, si, es decir, la diferencia de las tasas de crecimiento es menor que la diferencia de las tasas de transición, la tasa de la dinámica de re-equilibrio, a partir de
r
= 0, disminuye monótonamente con el tiempo. En este caso, el curso de tiempo de re-equilibración sigue una cinética de saturación exponenciales (monótonamente creciente antes de llegar a la saturación), como se muestra en la Fig. 2B y 2D.
A. las tasas de crecimiento de células diferenciales son más grandes que las tasas de transición diferenciales de células. La derivada en el tiempo de la relación de la célula es no monótona antes de llegar a la relación fija. B. tasas de crecimiento diferencial de células son más pequeñas que la tasa de transición diferencial de células. La derivada en el tiempo de la relación de células se monótonamente decreciente antes de llegar a la relación fija. C. Dinámica Celular re-equilibrio es sigmoidal para la condición mostrada en la dinámica de la célula de re-equilibrio anuncio es logístico a la condición mostrada en B.
Modelo población de células de transición de crecimiento y la dinámica:
M
-Phenotypes
Durante el desarrollo de los organismos multicelulares, por lo general se forman más de dos tipos de células. Esto introduce cualitativamente nuevas propiedades no presentes en el modelo de transición de dos estados clásica. Para estudiar este fenómeno, hemos ampliado nuestro formalismo matemático anterior a fenotipos celulares: (14)
Aquí hay el respectivo número de células de fenotipos en la población de células. Cada fenotipo tiene una tasa de crecimiento respectivo; son las tasas de transición de estados de fenotipo celular
i
al fenotipo
j
. Dado que este es un sistema lineal, la mano del lado derecho se puede descomponer como suma de una matriz diagonal y una matriz de Markov. La forma matricial de la ecuación. (14) se puede escribir como: (15)
Aquí es una matriz diagonal positiva con las tasas de crecimiento y es una matriz de Markov que consiste en las tasas de transición. La suma de cada columna de cero es debido al principio de conservación de flujo. Esto significa que hay por lo menos un valor propio cero para la matriz de Markov, que garantiza que existe un estado estacionario si el sistema es un sistema dinámico de transición de sólo (
G
= 0). Si las tasas de crecimiento no son ceros, habrá un estado de equilibrio para la relación relativa de células en lugar de un número de celda absoluta, que se muestra en la siguiente ecuación. Podemos entonces establecer la relación matemática entre la tasa de crecimiento y de transición, que es necesario para mantener fenotipos distintos epigenéticos y la relación de células fijadas. Si la matriz tiene valores propios, a continuación, la solución general de la ecuación. (15) es (16)
Estas son constantes determinadas por las condiciones iniciales del sistema dinámico. Cada subpoblación es la combinación lineal de algunas de las funciones de crecimiento exponencial. Por lo tanto, no existe ningún estado de equilibrio no trivial como lo hace en el caso de los de sólo transición dinámica, es decir, este sistema lineal representa un mundo ideal con amplias nutrientes en el que las células pueden crecer indefinidamente.
La coexistencia o co-extinción de
m
distintas subpoblaciones de células requiere valores propios que satisfagan o. Dado que queremos la población de células para mantener los fenotipos distintos, las tasas de crecimiento de todos los fenotipos tienen que ser mucho más grande que la suma de las conversiones de estado: para, las subpoblaciones pueden sobrevivir por su cuenta. Sin embargo, si una de las poblaciones tiene una tasa de transición mayor que su tasa de crecimiento, esta población sólo puede sobrevivir como "
derivado
" de las otras (como de nuevo depende de la "reflujo" de los otros) . Si, por el contrario, todas las subpoblaciones tienen tasas de conversión mucho más grandes que sus tasas de crecimiento, la distinción de múltiples fenotipos de células discretas se vuelve borrosa. En esta situación no sólo habrá una población de células con subpoblaciones transición rápida entre sí, y debido a que ninguna de las subpoblaciones pueden sobrevivir por sí mismo.
Ejemplos biológicos e interpretación
En este sección vamos a ejemplificar los conceptos descritos anteriormente, utilizando los datos experimentales de la dinámica de la población de células cancerosas. Es bien conocido que los tumores individuales albergan numerosos fenotipos celulares y cada fenotipo tiene diferentes propiedades biológicas, como las tasas de crecimiento, las capacidades de migración y las respuestas de drogas. Por ejemplo, las células madre del cáncer generalmente están asociados con tumores de iniciación, la metástasis y la resistencia a los medicamentos. Uno de los mayores retos a los que se enfrenta la investigación del cáncer es la resistencia a fármacos. Existen dos hipótesis sobre el origen de la resistencia a la quimioterapia o la radioterapia [18]. La primera hipótesis propone la pre-existencia de subpoblaciones resistentes a los fármacos, que son capaces de sobrevivir en la presencia de la droga y de ampliar durante y después del tratamiento con fármacos. La segunda hipótesis asume que las células cancerosas son fenotípicamente plástico y capaz de tránsito entre los estados sensibles a fármacos y resistentes a los fármacos. En nuestros estudios anteriores [19] hemos modelado la respuesta de las células leucémicas HL60 agudas de medicamentos quimioterapéuticos para distinguir estas dos posibles mecanismos de resistencia a los medicamentos. Teniendo en cuenta que la expresión constitutiva de
ABC
transportadores por lo general se asocia con resistencia a múltiples fármacos, que mide la expresión y la actividad de la
ABCB1 /MDR1
transportador antes y después del tratamiento de drogas. Se encontró que dentro de la población de células HL60 hay dos subpoblaciones, MDR1
Low y MDR1
High, que se correlacionan con, respectivamente, baja o alta supervivencia en presencia de fármaco (Fig.3). Las dos subpoblaciones puede espontáneamente interconvertir entre sí, con una relación de coexistencia estable de 98:2 (MDR1
Baja: MDR1
Mayor) sin fármaco (figura 3A) y 60:40 con el fármaco (figura 3B ). Nuestros resultados han mostrado que la respuesta al fármaco fue predominantemente controlada por el cambio en la tasa de transición, en lugar de las tasas de crecimiento diferenciales. Aquí hemos ampliado nuestro enfoque conceptual para estudiar las transiciones de estado en un sistema experimental de cáncer de mama con tres posibles fenotipos [20].
línea celular de leucemia HL60 tiene dos subpoblaciones, MDR
Alta y MDR
Bajo, sobre la base de sus capacidades para retener colorante fluorescente CalceinAM (citometría de flujo perfiles), medida por citometría de flujo. La citometría de flujo histogramas corresponden a una instantánea de la población celular en un punto de tiempo dado. En este caso particular, el parámetro es la acumulación de un colorante fluorescente, CalceinAM, que funciona como un sustituto para la actividad de los transportadores ABC y la resistencia a múltiples fármacos: si las células retienen el colorante, los transportadores ABC no están activos y la célula es sensible a las drogas; Si las células no se acumulan el colorante, los transportadores ABC son activos y la célula es resistente al tratamiento farmacológico. A. En ausencia de drogas las dos subpoblaciones coexisten en una relación estable de células, MDR
Alta = 2% y MDR
Baja = 98%. B. Cuando las células se tratan con 10 nM de vincristina durante 72 horas las proporciones cambian a MDR
Alto = 40% y MDR
Baja = 60%. Para más detalles, por favor refiérase a Pisco et al [17].
transición de tres fenotipo entre las células madre de cáncer de mama y las células cancerosas diferenciadas
líneas celulares de cáncer de mama y SUM159 SUM149 muestran tres comportamientos diferentes, basados en marcadores de la superficie celular putativo: tallo-como las células (CD44
alta CD24
neg EpCAM
baja), las células basales (CD44
alta CD24
EpCAM negativo
células negativas) y luminales (CD4
baja CD24
alta EpCAM
alto) [20]. Gupta et al [18] han demostrado que la población de células de SUM159 es predominantemente basal, con una relación celular fijo asociado de 97,3% basal (B), 1,9% de vástago (S) y células luminales 0,62% (L). A su vez, la línea celular SUM149 predominantemente consiste en células luminales, con una proporción respectiva de 3,3% basal (B), el 3,9% del vástago (S) y el 92,8% de células luminales (L). En el estudio, los autores demostraron que si los tres estados diferentes de células se FACSorted en base a sus marcadores de superficie, y se dejó que las subpoblaciones de células relativamente puras de crecer en condiciones de cultivo normales, todo Tipo de subpoblaciones de células puras se recuperó rápidamente la relación inicial de la población celular. Es entonces importante preguntarse por qué los tumores mantienen esta heterogeneidad con relación fija y cuáles son los mecanismos que conducen la relajación rápida de las células ordenada subpoblaciones de nuevo a la relación inicial.
Gupta et al [20] utilizó una modelo de Markov para describir la dinámica de re-equilibrio de las subpoblaciones de células. Aunque el modelo de Markov es capaz de explicar la existencia de la relación de fracciones celulares estables 'y también puede capturar la dinámica de los estados celulares, hay dos desventajas cuando se comparan a un modelo de ODE. En primer lugar, el modelo de Markov re-escala la población total de células a 1 en cada paso de tiempo, que enmascara la influencia de diferentes tasas de crecimiento de las subpoblaciones. La probabilidad de permanecer en el mismo estado en el modelo de Markov, que corresponde a la tasa de crecimiento en el modelo de ODE, dará la proporción de células para condiciones de estado estacionario, pero no puede predecir la tasa de crecimiento efectiva de toda la población celular. En segundo lugar, re-equilibrio está garantizado en un proceso de Markov, siempre y cuando se conserva la probabilidad de transiciones (por ejemplo, cada fila de la matriz de transición de probabilidad se suman a 1). Sin embargo, hay algunas conexiones sutiles entre las tasas de crecimiento y las tasas de transición, que se pierden por el modelo de Markov, tales como que la tasa de crecimiento y la tasa de transición necesitan para satisfacer la condición de la ecuación. 6 a alcanzar el estado estacionario, y las condiciones para la convivencia o la existencia derivada de las diferentes subpoblaciones. El modelo cuantitativo desarrollado en la Sección 3 se utiliza para tratar estas cuestiones. Somos capaces no sólo para examinar la necesidad de llegar a una relación fija entre diferentes subpoblaciones de células, sino también para caracterizar el estado de su existencia en un tipo de célula múltiple y creciente continuamente población celular. Si asumimos para las subpoblaciones, por la regla de la cadena de la diferenciación, la dinámica de seguimiento: (17) guía
Con el fin de obtener el estado estable de relaciones de células, nos propusimos en la ecuación. (17) anterior. Esto conduce a una ecuación de segundo grado dual, que no tiene solución analítica en general. Sin embargo, esto se puede resolver con métodos numéricos.
Incluso si las proporciones de la población se vuelve estacionario, el número absoluto de células de las subpoblaciones, y puede aumentar indefinidamente. En la situación en la que las tasas de crecimiento son más pequeñas que las tasas de transición, la matriz de transición es predominantemente una matriz de Markov que satisface el principio de conservación de flujo, ya que sólo tiene un valor propio positivo, mientras que todos los demás son negativos. Todas las subpoblaciones de células crecen exactamente en una tasa de crecimiento individual y sus relaciones serán determinadas por las constantes inicial (véase la Ec. (16)). Por lo tanto, las subpoblaciones prácticamente se corresponden con el mismo tipo de células con diferentes niveles de expresión de biomarcador
X
y ninguno de ellos puede sobrevivir como un tipo de células independiente. En la práctica, este tipo de transiciones rápidas se manifestarán como las fluctuaciones de los perfiles de expresión génica, lo que contribuye a la heterogeneidad de la población observada en las instantáneas. Como lo explica en Pisco y col. [19], los cambios en la aptitud y puede representar diferencial en (mutación-menos) la selección darwiniana mientras que los cambios en la instrucción puede representar lamarckiana.
Al poner juntos el modelo EDO lineal de crecimiento a la transición de la ecuación. (14) con la fracción de la población de estado estacionario de la ecuación. (17), podemos estimar las tasas de crecimiento y las tasas de transición de estado Hay un total de nueve variables desconocidas (3 tasas de crecimiento y 6 tasas de transición), pero tenemos sólo 2 ecuaciones (por linaje celular SUM159 y de linaje de células SUM149). Las soluciones son indeterminado porque no había mediciones de las tasas de crecimiento o el tiempo de re-equilibrio para cada población de células. Sin embargo, ya que las relaciones de fracción celular se miden experimentalmente a día 0 y en el día 6 [18], se puede ejecutar el análisis de parámetros para encontrar los valores que se ajustan a las proporciones mejor a día 0 y día 6. El procedimiento básico de la exploración de parámetros incluyen dos pasos: en primer lugar, el rango de valores de escaneo y los incrementos se estiman para cada parámetro; En segundo lugar, se realizó una gran prueba de ensayo y error en paralelo para encontrar los parámetros que se ajustan mejor a los datos de re-equilibrio
.
El modelo de la población de células con el crecimiento y la interconversión se muestra en la Fig. 4A. Las tasas de crecimiento y las tasas de transición para la línea celular SUM159, obtenidos a partir de la digitalización de parámetros, se enumeran en la Tabla 1. Los valores propios son los valores que proporcionan el mejor ajuste de los datos experimentales. Como mostramos en la sección 3, las subpoblaciones de células distintivos y la coexistencia o co-extinción de ellos requiere tres valores propios para satisfacer a todos. Por lo tanto, pueden coexistir estos tres tipos de células. Otro criterio es comprobar si las tasas de crecimiento de todos los fenotipos son mucho más rápido que la suma de las conversiones de estado, es decir, de manera que las tres subpoblaciones pueden todos sobrevivir por su cuenta. El mismo procedimiento se aplicó para la suma linaje celular 149 para obtener las tasas de crecimiento y las tasas de transición, como se muestra en la Tabla 1. Al calcular los valores propios llegamos a la conclusión de que las subpoblaciones de SUM149 también pueden coexistir. Cuando comprobamos la relación entre las tasas de crecimiento y las tasas de transición, que tenemos, lo que demuestra que las tres subpoblaciones todos pueden sobrevivir por sí mismos también.
A. Ilustración del crecimiento celular y de transición para la línea celular de cáncer de mama con tres fenotipos distintos de células: células luminales, células basales y de células madre mamarias. B1-B6. Después de FACS clasificación, cada subpoblación aislado de la línea celular SUM159, tallo similar, las células basales y luminales, re-equilibren a la relación de estado estable de células. Los paneles superiores son las dinámicas para el número de células de tres subpoblaciones; paneles inferiores son las dinámicas de las relaciones de células de tres subpoblaciones. C1-C6. Después de FACS clasificación, cada subpoblación aislado de la línea celular SUM149, tallo similar, las células basales y luminales, re-equilibren a la relación de estado estable de células. Los paneles superiores son las dinámicas para el número de células de tres subpoblaciones; paneles inferiores son las dinámicas de las relaciones de células de tres subpoblaciones.
La dinámica de re-equilibrio de la línea celular SUM159 se muestran en la Fig. 4B1-B6. Podemos ver claramente que después de la clasificación celular cada célula subpoblación rápidamente volvió a equilibrar con la relación de estado estable estable
r * =
N
X
:
N
Y:N
Z
≈1.9:97.3:0.62 plazo de 12 días. Sin embargo, ya que la línea celular SUM149 generalmente tiene tasa de transición mucho más lenta, la población lentamente se volvió a equilibrar a la relación de estado estable estable hasta el final de los 140 días de tiempo de curso, como se muestra en la Fig. 4C1-C6. Nuestros resultados computacionales para ambas líneas celulares cualitativamente de acuerdo con los datos experimentales y los resultados del modelo de simulación de Markov presentados en Gupta
et al
[18], que mostraron que las células SUM159 volvieron rápidamente al equilibrio mientras SUM149 células estaban lejos de alcanzar el equilibrio en el día 6. por otra parte, el modelo de ODE reveló más información sobre la dinámica poblacional del cáncer. (6).